2015年01月02日

確率と正規分布の確率密度についてまとめてみた /データ分析の解説

さて、前回の正規分布の解説の最後に、コイン投げ10回をExcelの関数を使ってランダムに200回やってみて正規分布に近くなったことを確かめてみましたが、今回はコイン10回投げで表が5回出る確率を実際に求めてみて、正規分布の確率密度と比較してみましょう。
確率についてはコチラで解説しています。。

Excelで、ひたすら10回のコイン投げの表がでるパターンを作ってみます。
表は"1"、裏は"0"で表します。
ちなみに、10回のコイン投げの表が出るパターンは"1024通り"ありますよ!!
20150101_02.jpg
んで、表の右下には表が出た回数の平均値を標準偏差を"AVERAGE関数"、"STDEVP関数"で求めておきます。
1通り目が10回とも裏がでるパターン、1024通り目が10回とも表がでるパターンです。
20150101_04.JPG

もちろん、コインを投げたときの表と裏がでる確率は50:50なので、10回投げたときの表の出る回数は5回だろうと予測されます。想像通り平均値は"5"になっています。

では、表の出る回数の確率を求めていきましょう。
まず、表の出る回数"0回"〜"10回"の組合せの数を求めます。
それぞれの組合せの数を全ての組み合わせ(1024)で割れば確率が求められますよね。
組合せは、こんな式で求められます。
20150101_03.jpg

Excelでは"CONBIN関数"で組合せの数を求められます。
投げる回数"10"と、表の回数を指定します。
20150101_05.JPG

ちなみに、10回投げのパターンの表から"表の回数"を"5"で抽出すると、こんな感じになります。
10回から、5回を抜取る組合せの実際のパターンが分かります。
20150102_01.JPG

んで確率は、"COMBIN関数"で求めた組合せの数を、その合計"1024"で割っていきます。
20150101_06.JPG

すると、このように、組合せ数とその確率が求められました。
表5回は"252回"、確率は24.6%です。
20150101_07.JPG

では、次にこの1024通りのデータから、Excelの"NORMDIST関数"を使って正規分布の"確率密度"、"累積分布"を求めてみます。
正規分布は"平均値"と"標準偏差"が分かれば求められます。
さっきの、1024通りの表で求めてあった"平均値:5.0"と"標準偏差:1.58114"を引用します。
確率密度は最後の引数に"FALSE"を指定します。
20150101_08.JPG

累積分布の最後の引数は"TRUE"です。
20150101_09.JPG

つなみに、確率密度関数のグラフ、つまり正規分布のグラフはこうなりました。
20150101_010.JPG

で、確率と比較するとこうなりました。
20150101_011.JPG

さて、コイン10回投げで表が5回出る確率は"24.6%"ですが、正規分布のベルカーブ曲線の確率密度関数では"0.2523"になっています。
前回も説明しましたが、確率密度とは、単位幅当たりの確率のことで、確率とは異なります。
確率は曲線から下の面積(確率密度を積分したもの)になります。
また、正規分布の横軸の数字は連続した数値です。コイン投げでは表の回数は整数で、4.5回なんてのはあり得ませんが、正規分布はありです。コイン投げのような場合のとる値は"離散的"といい、連続数と区別されます。
正規分布では面積が確率になるので、総面積が"1"(確率の合計)になるのですが、累積分布関数の"10"の値は"0.999217299"で"1"にはなっていません。
これは、正規分布の横軸は"-∞から∞"であるためです。
累積分布関数で"4.5"と"5.5"の値を求めてその差(確率)を求めてみると"0.248"となり、10回投げで表が5回出る確率とほぼ同じになりました。
201510102_03.JPG

んで、前回"RANDBETWEEN関数"を使って10回のコイン投げを200セット行った時の表が5回出た確率"47/200=0.235"はほぼ妥当だと言うことがわかりますね。。

確率を求めてみたところで、もう一つ気になることがあります。
コイン投げの表と裏がでる確率は50:50で、10回投げたら表が5回でるのが予想値なのですが、その予想値が当たる確率は約25%しかないということです。75%は外れてしまうのです。。。
もし、"5±1回"と予想すると、4回〜6回が予想対象となるので、その確率"20.5%"+"24.6%"+"20.5%"="65.6%"が当たります。

次回は、サンプルを抽出して分析する際の"標本誤差"について説明します!

予告編
20150102_12.jpg

バックナンバー
其の1 正規分布についてまとめてみた

関連ページ
確率についてまとめてみた
COMBIN関数で組合せ(抜取り)の数を求めてみた
データ分析の解説/メニュー


posted by haku1569 at 14:51| データ分析の解説 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
×

この広告は180日以上新しい記事の投稿がないブログに表示されております。